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Raw Blame History

PML 理解指南

面向：将频域有限元光学仿真（OpticsFEM）扩展到 PML 吸收边界。
材料来源：本目录 2022-11 PML&&ABC 中的公式汇总、二维 MATLAB/COMSOL 示例，以及相关文献。

1. 一句话结论

PML（Perfectly Matched Layer，完美匹配层）是一种“体吸收层”：在计算域外侧铺一层特殊区域，让向外传播的波几乎无反射地进入并在层内衰减；在频域 FEM 里，它通常不改弱形式结构，只把该区域的 \varepsilon,\mu 换成各向异性复数张量。

和你已有边界对比：

类型	作用位置	本质
ABC	外表面	近似吸收边界条件
SBC（散射边界）	边界面积分	一阶/高阶辐射条件近似
PML	体积区域	复数坐标拉伸 → 等效材料

PML 一般比简单 ABC/SBC 反射更小，尤其适合宽角度、开放域散射；代价是：多一层网格、材料变复张量、参数需要调。

2. 为什么需要 PML？

开放域问题（散射、天线、波导辐射）的真实物理域是无限的，计算机只能算有限区域。硬截断（PEC/PMC）会把出射波反射回来污染解。

PML 的目标：

匹配：波从物理域进入 PML 时反射尽量为 0（“完美匹配”）。
吸收：波在 PML 内沿拉伸方向指数衰减。
外截断：PML 外侧仍用 PEC 等简单条件；因为场已衰减，反射可忽略。

Berenger（1994）最早提出分裂场 PML；Chew 等人用复数坐标拉伸统一解释，并推广到 3D，这正是 FEM 最常用的视角。

3. 核心思想：复数坐标拉伸

3.1 直观理解

普通坐标 x 是实数。在 PML 里把法向坐标改成复数：


\tilde{x} = \int^{x} s_x(x')\,dx'

其中拉伸因子 s_x 带虚部。平面波 e^{-jkx} 变成 e^{-jk\tilde{x}}，虚部使振幅沿传播方向指数衰减，而阻抗匹配保证界面无反射。

3.2 频域 Maxwell 的等价写法

在拉伸坐标系里写 Maxwell，再映回原坐标，等价于：原方程形式不变，但材料变成


\boldsymbol{\varepsilon}' = \varepsilon\,\boldsymbol{\Lambda},\qquad
\boldsymbol{\mu}' = \mu\,\boldsymbol{\Lambda}

\boldsymbol{\Lambda} 由各方向的 s_x,s_y,s_z（以及几何：笛卡尔/柱坐标）决定。
\varepsilon 与 \mu 乘同一个 \Lambda：波阻抗不变 → 匹配；虚部 → 损耗。

3.3 与变换光学的关系

变换光学说：坐标变换可用材料张量等效。PML 是“把实空间映射到复数空间”的特例。因此：

矩形 PML：单轴拉伸，\Lambda 对角；
圆/柱 PML：先极坐标拉伸，再转到笛卡尔，\Lambda 一般非对角。

推导时用到雅可比矩阵；本目录的 .nb 和《变换光学硕士论文内容汇总》就是在练这件事。

4. 矩形（笛卡尔）PML —— 优先掌握

对 OpticsFEM 的盒状计算域，3D 盒式笛卡尔 PML 最实用。先把 2D 矩形搞懂即可推广。

4.1 单方向（例如只在 `+x` 侧）

设 PML 从 x=x_0 开始，厚度为 d，多项式阶次为 m，则常见形式：


s_x(x) = 1 - j\,\left(\frac{x-x_0}{d}\right)^{m}\frac{(m+1)R_0}{2\,d\,k_0}

本目录 MATLAB（FemAssemble.m）写法：

Sx = 1 - 1i*((averX-x0)/d)^m * (m+1)*R0/(2*d*k0);
Lambda = [1/Sx, 0, 0;
          0,    Sx, 0;
          0,    0,  Sx];
eps' = eps * Lambda;
mu'  = mu  * Lambda;

含义：

只拉伸 x 方向；
\Lambda = \mathrm{diag}(1/s_x,\, s_x,\, s_x)（2D TE/边元写法里常出现这种对角结构）；
物理域 s_x=1，\Lambda=\mathbf{I}。

4.2 三维盒式 PML（实现时要记住）

3D 中每个方向独立拉伸 s_x,s_y,s_z（角点、棱边多方向同时非 1）：


\boldsymbol{\Lambda} =
\begin{pmatrix}
s_y s_z / s_x & 0 & 0 \\
0 & s_x s_z / s_y & 0 \\
0 & 0 & s_x s_y / s_z
\end{pmatrix}

面中心：只有一个 s\neq 1；
棱：两个 s\neq 1；
角：三个 s\neq 1。

网格分区时必须把 PML 面/棱/角 标成不同 domain，或在单元积分点按坐标判断落在哪一类区域，再算对应的 s_x,s_y,s_z。

4.3 参数直觉

参数	含义	调参经验
`d`	PML 厚度	通常 `\sim 0.5\lambda\sim 1\lambda` 或若干层单元
`m`	电导剖面阶次	常取 2～4；太大则陡峭难分辨
`R_0`	理论反射相关强度	越大吸收越强，过大可能数值病态
`k_0=2\pi/\lambda`	波数	进入 `s` 的无量纲化

经验：先保证厚度够、网格在 PML 内有几层，再调 R_0,m。

5. 圆形（柱）PML —— 理解即可

圆形计算域时，沿径向 \rho 拉伸。本目录 FemAssemble3.m：

sigma = ((rho-rho0)/d)^2 * R0/(d*k0);
s1 = 1 - 1i*(d/(2*rho))*sigma;   % 与角向相关的因子
s2 = 1 - 1i*sigma;               % 径向拉伸
aa = s1/s2; bb = s2/s1; cc = s1*s2;
% Lambda：极坐标对角张量 → 转到笛卡尔 (x,y) 的 3×3 矩阵（xy 块非对角）

要点：

在 (\rho,\phi) 下 \Lambda 对角；
变到 (x,y) 后出现交叉项 xy；
每个高斯点用该点的 \rho 计算（材料随空间变化）。

若你的 3D 域是矩形盒子，先不必实现圆 PML；公式用来加深“拉伸 → \Lambda”的理解。

6. 频域 FEM 里 PML 怎么进方程

矢量 Helmholtz / 边元弱形式（示意）：


\int_\Omega
(\nabla\times\mathbf{N})\cdot\mu_r^{-1}(\nabla\times\mathbf{E})
- k_0^2\,\mathbf{N}\cdot\varepsilon_r\mathbf{E}\,dV
= \text{右端（源/边界）}

PML 区域只需：


\varepsilon_r \leftarrow \varepsilon_r\boldsymbol{\Lambda},\qquad
\mu_r^{-1} \leftarrow (\mu_r\boldsymbol{\Lambda})^{-1}

本目录组装（FemAssemble.m）对应：


S_{ij}=\int (\nabla\times N_i)\cdot\mu'^{-1}(\nabla\times N_j),\quad
T_{ij}=-k_0^2\int N_i\cdot\varepsilon' N_j

因此：弱形式、基函数、自由度编号可以不动；改的是材料求值。
外边界仍可加 PEC/Dirichlet；PML 外侧场应已很小。

7. 本目录代码怎么对照读

7.1 矩形示例（建议先跑通）

文件	作用
`FemRectanglePML.m`	主程序：读 COMSOL 网格 → 组装 → 求解 → 画场
`FemAssemble.m`	矩形 PML 核心：`domain==2` 时构造 `S_x,\Lambda`
`demo.mph`	带分区的网格/模型

阅读线索：domain 区分物理域与 PML → 算 S_x → \varepsilon',\mu' → 仍组装 S+T。

7.2 圆形示例

文件	作用
`FemCirclePML.m` / `FemCirclePML2.m`	主程序
`FemAssemble3.m` / `FemAssemble2.m`	圆 PML：`\sigma,s_1,s_2,\Lambda`
`demo2.mph` / `demo3.mph`	圆形分区模型

7.3 辅助

BF_Et.m、BF_curlEt.m、GetGuassPoints.m：边元与积分；
GetExEy.m、plotEt.m：后处理看波是否在层内衰减、物理域是否干净。

7.4 文档与文献（需要时回查）

材料	何时看
`PML公式汇总.docx`	查 `s,\Lambda` 公式
`二维矩形有限元PML.docx`	矩形推导与实现说明
`二维圆有限元PML.docx`	圆域推导
`变换光学硕士论文内容汇总.docx` + `.nb`	坐标变换推导
Chew：complex stretching / 3D PML	理论根源
Berenger 1994	历史与原始思想
`lec06_*.pdf`	课堂式扫盲

8. 和 OpticsFEM（你的 C++ 工程）怎么衔接

你现有能力大致是：体组装 + SBC 面积分 + PBC 等。接入 PML 时：

网格：外层增加 PML 壳体（面/棱/角分区），JSON/domain 能识别 PML 区域。
材料：在体积分点，若属于 PML，按坐标算 s_x,s_y,s_z，得到 \boldsymbol{\Lambda}，再 \varepsilon\leftarrow\varepsilon\Lambda，\mu\leftarrow\mu\Lambda。
组装：沿用现有 curl-curl 弱形式；PML 单元用复张量材料即可。
边界：PML 最外表面用 PEC（或现有简单条件）；开放方向用 PML 替代或与 SBC 分工（例如：侧向 PBC，纵向 PML）。
验证：平面波/点源，看物理域驻波是否消失、PML 内场衰减、与 COMSOL 对比。

优先实现顺序建议：

2D 矩形公式理解透（本指南 + FemAssemble.m）；
3D 单轴面 PML（只有 \pm z）；
完整盒式（含棱、角）；
再考虑 CFS-PML 等改进。

9. 常见误区

以为 PML 是边界条件 — 它是体层 + 材料，不是单纯边界积分。
只改 \varepsilon 不改 \mu — 匹配会破坏，反射变大。
PML 太薄 / 网格太稀 — 理论再完美也会数值反射。
R_0 盲目加大 — 剖面过陡 → 色散/病态。
角区漏标 — 角上必须多方向同时拉伸，否则角反射明显。
和 SBC 混用时职责不清 — 同一方向不要又厚 PML 又强 SBC 却不做对比验证。

10. 最小心智模型（背下来即可动手）

出射波 → 进入 PML 层（无反射匹配）
      → 复数拉伸方向上指数衰减
      → 外边界反射被压到可忽略

数学： s(x) 复数拉伸
实现： ε' = ε Λ(s),  μ' = μ Λ(s)
FEM：  弱形式不变，只换材料

矩形单轴（记忆版）：


s_x = 1 - j\left(\frac{x-x_0}{d}\right)^m C,\quad
\Lambda=\mathrm{diag}\!\left(\frac{1}{s_x},\,s_x,\,s_x\right)

3D 完整版用 s_x,s_y,s_z 填对角 \Lambda（见第 4.2 节）。

11. 建议自学顺序（压缩版）

读完本文件第 1–6、10 节。
对照 PML公式汇总.docx + FemAssemble.m 推一遍 S_x,\Lambda。
跑 FemRectanglePML.m，改 m,R_0,d 看场图变化。
选读 Chew 复数拉伸 / 3D PML 两篇。
设计 OpticsFEM：domain 标记 + 积分点 \Lambda(x,y,z)。

12. 术语速查

术语	含义
PML	完美匹配层
ABC	吸收边界条件（表面型近似）
CFS-PML	复数频移 PML（改善低频/掠入射等）
拉伸因子 `s`	复数坐标映射的导数
`\Lambda`	把拉伸写成材料各向异性的张量
`R_0,d,m`	强度、厚度、剖面阶次
匹配	`\varepsilon,\mu` 同变换，界面理论零反射

文档目的：把本文件夹中的分散知识点收成一条可执行的理解路径，便于后续在 3D OpticsFEM 中实现笛卡尔盒式 PML。

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