\documentclass[11pt,a4paper]{article}

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% ---- 实验标注命令 ----
\newcommand{\needexp}[1]{\textcolor{red}{[实验待做: #1]}}

% ---- 标题信息 ----
\title{基于图神经网络与强化学习的亥姆霍兹散射问题自适应网格细化：\\
跨波数零样本泛化与非局域误差传播}
\author{[作者姓名] \\ [单位]}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

% ============================================================
\section{Introduction（引言）}
% ============================================================

\subsection{领域背景（Field Scale）}

\begin{itemize}
  \item 高频亥姆霍兹方程 $\nabla^2 u + k^2\varepsilon_r u = f$ 是电磁散射、声学传播、地震成像等领域的核心控制方程
  \item 有限元方法（FEM）求解亥姆霍兹问题的核心困难：\textbf{污染效应（pollution effect）}——标准 P1 Galerkin FEM 的色散误差随波数 $k$ 增大而累积，导致"即使每波长分辨率足够，远场相位误差仍不可接受"
  \item 缓解污染效应的主要手段：\textbf{自适应网格细化（AMR）}——在有物理特征（介质界面、高梯度区）的地方局部加密网格，在平缓区保持粗网格
\end{itemize}

\subsection{现有方法与瓶颈（Prior Attempts \& Bottleneck）}

\begin{itemize}
  \item \textbf{传统 AMR：}基于后验误差估计子（残差型 $\eta_K$、梯度恢复型）的单步启发式标记策略（D\"{o}rfler 标记、最大策略标记）
  \item \textbf{传统方法的两个根本局限：}
    \begin{enumerate}
      \item \textbf{贪心单步决策}：每步仅根据当前误差分布标记细化区域，无法规划多步预算分配——早期过度细化低价值区域会耗尽后续步的预算
      \item \textbf{局部信息盲区}：高频亥姆霍兹的误差通过波动物理在长距离上非局域传播（介质界面的误差影响远场散射场），而传统误差指示子仅反映局部残差，无法感知误差的因果来源
    \end{enumerate}
  \item \textbf{已有 ML-AMR 方法：}Adaptive Swarm Mesh Refinement (ASMR) 首次将 AMR 形式化为多智能体 MDP 并用 PPO 训练 GNN 策略，但：
    \begin{itemize}
      \item 针对泊松/椭圆型方程（自伴、椭圆、误差局部扩散），消息传递机制在椭圆型设置下足够
      \item 未涉及高频亥姆霍兹方程的非局域性、不定号性和污染效应
    \end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{未解决的核心 gap（Unresolved Gap）}

\begin{itemize}
  \item 高频亥姆霍兹散射中的非局域误差传播要求网格细化策略具备\textbf{全局上下文感知能力}——标准 GNN 的局部消息传递受限于图的直径，需 $O(\text{diameter})$ 层数才能传递远距离信息
  \item 传统 AMR 的误差指示子和标记阈值是\textbf{$k$ 相关的}——针对某个波数调好的参数在更高频段失效，需要重新调参
  \item 已有方法需依赖真值或超精细网格参考解作为训练信号——在实际工程中通常不可得
\end{itemize}

\subsection{本文贡献（Present Study）}

提出一种针对高频亥姆霍兹散射的 RL-GNN 自适应网格细化方法。核心贡献：

\begin{enumerate}[label=\textbf{C\arabic*}, leftmargin=*]
  \item \textbf{首次将 RL-AMR 拓展到高频亥姆霍兹方程。}通过全局虚拟节点（GVN）架构解决非局域误差传播问题，使得 GNN 策略能感知全局误差分布。
  \item \textbf{跨波数零样本泛化。}通过 $k$ 不变特征归一化（真空波数归一化 + 相位距离边特征），策略在中等波数 $k\in[3,15]$ 训练后可直接泛化到更高波数 $k=30$——无需重新调参或微调。传统 AMR 方法无法做到这一点。
  \item \textbf{残差型后验误差估计子 $\eta_K$ 作为奖励信号。}无需解析解或超精细参考网格，使方法可应用于任意散射体几何和介质分布。
  \item \textbf{因果隔离的奖励函数设计。}通过 agent\_mapping 追踪父子元素层级，保证奖励信号的因果正确性：全局误差变化不反馈给 Actor，未细化父元素获得零奖励。
\end{enumerate}

\subsection{论文组织}

第 2 节建立问题形式化，第 3 节详述方法，第 4 节给出实验与消融分析，第 5 节讨论与展望，第 6 节总结。

% ============================================================
\section{Problem Formulation（问题形式化）}
% ============================================================

\subsection{亥姆霍兹散射问题}

\textbf{控制方程（二维）：}
\begin{equation}
  \nabla^2 u_{\mathrm{scat}} + k^2 \varepsilon_r(\mathbf{x}) u_{\mathrm{scat}}
  = k^2\big(1-\varepsilon_r(\mathbf{x})\big) u_{\mathrm{inc}}(\mathbf{x})
  \label{eq:helmholtz}
\end{equation}

其中 $u_{\mathrm{scat}}$ 为散射场，$u_{\mathrm{inc}}$ 为入射平面波，$k$ 为真空波数，$\varepsilon_r(\mathbf{x})$ 为相对介电常数分布。外边界施加一阶 Sommerfeld 辐射条件：
\begin{equation}
  \frac{\partial u_{\mathrm{scat}}}{\partial n} - i k u_{\mathrm{scat}} = 0
  \label{eq:sbc}
\end{equation}

\textbf{散射体：}圆形介质柱（$\varepsilon_r \in [2.0, 8.0]$），半径和位置可随机化。计算域为 $[0,1] \times [0,1]$ 矩形。

\textbf{FEM 离散：}P1 线性三角单元。Galerkin 弱形式：
\begin{equation}
  \int_\Omega \nabla u_h \cdot \nabla v_h \,dx
  - k^2\int_\Omega \varepsilon_r u_h v_h \,dx
  - ik\oint_{\partial\Omega} u_h v_h \,ds
  = -k^2\int_\Omega (1-\varepsilon_r)u_{\mathrm{inc}} v_h \,dx
\end{equation}

\subsection{残差型后验误差估计子 $\eta_K$}

对每个三角单元 $K$，定义无量纲残差误差指示子（以真空波数 $k$ 归一化，\textbf{非}局部波数 $k\sqrt{\varepsilon_r}$）：

\begin{equation}
  \eta_K^2 =
  \underbrace{\left(\frac{h_K}{k}\right)^2 \cdot V_K \cdot \big|k^2\varepsilon_r u_h + k^2(\varepsilon_r-1)u_{\mathrm{inc}}\big|^2}_{\text{内部残差}}
  + \underbrace{\frac{1}{2}\sum_{e\in\partial K} \frac{h_e}{k} \cdot \big\|[\kern-2pt[ \nabla u_h\cdot\mathbf{n} ]\kern-2pt]\big\|^2_e}_{\text{梯度跳跃}}
  + \underbrace{\frac{h_{\mathrm{bnd}}}{k} \cdot \big|\frac{\partial u_h}{\partial n} - ik u_h\big|^2}_{\text{SBC 边界残差}}
  \label{eq:eta}
\end{equation}

\textbf{为什么用真空波数归一化：}使用局部波数 $k_{\mathrm{local}} = k\sqrt{\varepsilon_r}$ 会导致介质内部 $\eta_K$ 被人为压制 $\sqrt{\varepsilon_r}$ 倍，使 GNN 对介质内部区域"视而不见"。用真空波数 $k$ 保证不同介质区域的误差指示子可比。

\textbf{为什么用 $\eta_K$ 作为奖励而非真值：}在实际散射问题中，不存在解析解或超精细参考解。$\eta_K$ 是仅依赖当前 FEM 解的可计算量，且在预渐近条件下（$h \leq \lambda_d/N$）与真实误差等价（可靠性 + 有效性）。这使得整个方法不绑定任何特定几何或介质。

\subsection{预渐近约束（Pre-asymptotic Resolution）}

在细化开始前，强制介质内部单元满足 $h_K \leq \lambda_d / N$（$N=1.5$，$\lambda_d = 2\pi/(k\sqrt{\varepsilon_r})$ 为介质内波长），确保初始网格已充分解析介质内部波的相位变化。该约束防止 GNN 从"纯数值噪声"中学习。

\subsection{AMR 作为序贯决策问题}

将 $T$ 步网格细化过程形式化为 MDP $\langle \mathcal{S}, \mathcal{A}, P, R, \gamma \rangle$：

\begin{itemize}
  \item \textbf{状态 $\mathcal{S}$：}图 $\mathcal{G}_t = (\mathcal{V}_t, \mathcal{E}_t)$，节点为三角单元，边为共享棱边的邻接关系。节点特征 13 维，边特征 1 维（相位距离，见 \S\ref{sec:features}）
  \item \textbf{动作 $\mathcal{A}$：}每个单元输出连续评分 $x_i \in \mathbb{R}$，按 $\mathrm{score}_i = -x_i$ 降序排列，在物理预算 $N_{\mathrm{budget}} \propto k^2$ 约束下选择 top-$k$ 单元进行细化（Rivara 最长边二分 + 一致性闭包）
  \item \textbf{奖励 $R$：}基于 $\eta_K$ 的对数误差缩减（见 \S\ref{sec:reward}）
  \item \textbf{终止：}达到最大步数 $T_{\max}=4\sim6$，或预算耗尽，或网格总单元数超过上限（50k）
  \item \textbf{关键区别（vs 传统 AMR）：}策略可以跨步规划——在早期步骤有意保留预算，在后期步骤集中处理高价值区域
\end{itemize}

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\section{Method（方法）}
% ============================================================

\subsection{$k$ 不变特征设计}
\label{sec:features}

为使 GNN 在不同波数 $k$ 下看到相似分布的输入，所有特征均设计为 $k$ 无关或 $k$ 尺度化的形式。

\textbf{节点特征（13 维）：}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
  \item 单元体积 $V_K$（经过对数压缩）
  \item--4. 三个残差分量：$\log(1 + \eta_{K,\mathrm{int}})$, $\log(1 + \eta_{K,\mathrm{jump}})$, $\log(1 + \eta_{K,\mathrm{bnd}})$
  \item 惩罚项标志（是否属于细化惩罚区）
  \item 当前时间步 $t/T_{\max}$
  \item $k\sqrt{V_K}$：波数-尺度耦合特征
  \item SBC 边界标志：单元是否接触 Sommerfeld 边界
  \item 到介质界面的有符号对数距离：$\mathrm{sign}(d) \cdot \log(1 + |d|)$
  \item $\varepsilon_r$：单元所在介质的相对介电常数
  \item 场幅值：$|u_h|$
  \item--13. 复场的相位特征：$\cos(\angle u_h)$, $\sin(\angle u_h)$
\end{enumerate}

\textbf{边特征（1 维）：}
\begin{equation}
  e_{ij} = k \cdot |\mathbf{x}_i^{\mathrm{mid}} - \mathbf{x}_j^{\mathrm{mid}}| \pmod{2\pi}
\end{equation}
即两个相邻单元中点之间的相位距离。该特征是 $k$ 自适应的——在更高波数下，物理波长更短，中点距离自然更大（以相位度量）。以此保证跨波数下边特征的分布一致。

\subsection{奖励函数设计：因果隔离 + 零和预算审计}
\label{sec:reward}

奖励函数的核心原则：

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
  \item \textbf{基于 $\eta_K$ 而非真值}（如上所述）
  \item \textbf{因果隔离：}仅被细化的父元素获得奖励，未细化的父元素获得零奖励。全局误差变化不反馈给 Actor——因为高频亥姆霍兹的远场误差受介质内部多个区域共同影响，将全局误差直接分配给局部动作会破坏因果关系
  \item \textbf{零和预算审计：}受 D\"{o}rfler 标记策略启发，引入零和奖励项——$\eta_K$ 高于均值的元素获得正奖励，低于均值的元素获得等量负惩罚。保证整体预算中性
\end{enumerate}

\textbf{奖励计算公式：}
\begin{equation}
  r_i = \underbrace{\log\eta_{K,i}^{\mathrm{old}} - \max_{j \in \mathrm{children}(i)} \log\eta_{K,j}^{\mathrm{new}}}_{\text{对数误差缩减}}
      + \underbrace{\alpha \cdot \big(\eta_{K,i} - \bar{\eta}_K\big)}_{\text{零和 D\"{o}rfler 奖励}}
      - \underbrace{\lambda \cdot (n_i^{\mathrm{children}} - 1)}_{\text{元素数惩罚}}
\end{equation}

其中 $\mathrm{children}(i)$ 通过 \texttt{agent\_mapping} $\phi_{ij}$ 将子元素误差映射到父元素，取 $\max$（最差子元素决定奖励，驱动策略优先处理最难改善的区域）。

\textbf{奖励归一化：}每个 rollout 内对所有 agent 的奖励做 z-score 标准化，移除 reward scale 对 PPO 更新的影响。

\subsection{GNN 策略架构}

\subsubsection{消息传递基座（MessagePassingBase）}

\begin{itemize}
  \item 节点特征嵌入：Linear(13, 64) + Tanh
  \item 边特征嵌入：Linear(1, 64) + Tanh
  \item \texttt{MessagePassingStack}：2 层 $\{\text{EdgeModule} \to \text{NodeModule}\}$
    \begin{itemize}
      \item EdgeModule：聚合相邻节点特征 $h_i, h_j$ 与边特征 $e_{ij}$，更新边表征
      \item NodeModule：聚合邻边表征，更新节点表征
      \item 每层内部含残差连接 + LayerNorm
    \end{itemize}
  \item 训练时 Edge Dropout = 0.1
\end{itemize}

\subsubsection{全局虚拟节点（Global Virtual Node, GVN）}

\textbf{设计动机：}标准消息传递 GNN 的信息传播受限于图的直径——要在相距 $d$ 跳的两个节点间传递信息，至少需要 $d$ 层消息传递。对于高频亥姆霍兹问题，介质界面的误差通过波传播影响远场，需要全局上下文。GVN 提供 $O(1)$ 的全局信息通道。

\textbf{GVN 机制：}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
  \item \textbf{池化：}对所有节点特征做误差加权池化，得到全局上下文向量 $g$：
    \begin{equation}
      g = \sum_{i\in\mathcal{V}} w_i \cdot h_i, \quad w_i = \frac{\eta_{K,i}}{\sum_j \eta_{K,j}}
    \end{equation}
    误差越大的节点对全局上下文的贡献越大
  \item \textbf{注意力门控广播：}将 $g$ 广播回每个节点，通过可学习的注意力门控 $\gamma_i \in [0,1]$ 控制每个节点对全局信息的接收程度：
    \begin{equation}
      h_i' = h_i + \gamma_i \cdot g, \quad \gamma_i = \sigma\big(\mathrm{MLP}([h_i, g])\big)
    \end{equation}
    不同物理区域的节点对全局信息的需求不同：介质界面附近需要远场上下文，均匀介质内部几乎不需要
\end{enumerate}

\textbf{GNN 总参数量：}92,740

\subsubsection{Actor-Critic 双头}

\begin{itemize}
  \item \textbf{策略头（Actor）：}MLP(64, 32) + Tanh $\to$ Linear(32, 1) $\to$ 动作均值 $\mu_i$；可学习 log\_std（初始化 $-2.0$，截断 $[-4.0, -1.0]$）$\to$ \texttt{DiagGaussianDistribution}
  \item \textbf{价值头（Critic）：}MLP(64, 32) + Tanh $\to$ Linear(32, 1) $\to$ 逐元素价值 $V_i$
  \item 策略头和价值头不共享除 GNN backbone 外的参数
\end{itemize}

\subsection{PPO 训练}

\subsubsection{处理可变智能体数量}

网格细化导致元素数量变化，标准 RL 假设固定数量 agent。解决方案：在 GAE 计算阶段，通过 \texttt{scatter\_add} 将子节点价值 $V_j(s_{t+1})$ 按 \texttt{agent\_mapping} $\phi_{ij}$ 投影回父节点索引：

\begin{equation}
  \delta_i^t = r_i(s_t, a_t) + \gamma \cdot \sum_{j} \phi_{ij}^t \cdot V_j(s_{t+1}) - V_i(s_t)
\end{equation}

\subsubsection{训练超参数}

\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{ll}
\toprule
参数 & 值 \\
\midrule
Rollout 步数 & 256 / iteration \\
PPO epochs & 3 / iteration \\
折扣因子 $\gamma$ & 0.99 \\
GAE $\lambda$ & 0.95 \\
Clip range & 0.2 \\
Max grad norm & 0.5 \\
学习率 & $3\times10^{-4}$（Adam） \\
熵系数 & 0.005 \\
价值损失系数 & 0.5 \\
总迭代数 & 401 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{动作掩码：Reverse D\"{o}rfler}

在动作选择前，应用"反向 D\"{o}rfler"过滤：按 $\eta_K$ 升序排列单元，累计误差贡献 $< 1\%$ 总误差能量的尾部单元被标记为不可细化（排除数值噪声）。同时设 20\% 最低可选比例，确保智能体始终有充足的选择空间。

% ============================================================
\section{Experiments（实验）}
% ============================================================

\textbf{标注说明：}红色标注 \needexp{...} 表示尚未完成的实验。

\subsection{实验设置}

\begin{itemize}
  \item \textbf{PDE 求解器：}scikit-fem, P1 三角单元
  \item \textbf{计算域：}$[0,1]^2$，默认散射体为圆形介质柱
  \item \textbf{训练 PDE 分布：}$k \in [3, 15]$ 随机采样，$\varepsilon_r \in [2.0, 4.0]$ 随机采样，圆形散射体半径和位置随机
  \item \textbf{初始网格：}密度 $\propto k^2$，预渐近约束 $h \leq \lambda_d/1.5$
  \item \textbf{训练配置：}401 iteration $\times$ 256 rollout steps，单 GPU 约 55 分钟
  \item \textbf{硬件：}[填写 GPU 型号]
\end{itemize}

\subsection{基线方法}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
  \item \textbf{均匀细化（Uniform）：}每步对所有单元无差别细化（等价于全局 $h$-refinement）
  \item \textbf{D\"{o}rfler 标记（D\"{o}rfler）：}使用 $\eta_K$ 作为误差指示子，D\"{o}rfler 参数 $\theta=0.5$，标记累计误差占比 $\geq 50\%$ 的最小单元集合
  \item \textbf{最大策略标记（Max-marking）：}每步选取 $\eta_K$ 最高的 top-$k$ 单元（$k$ 与 RL 预算一致）
  \item \textbf{随机策略（Random）：}在可选单元中等概率随机选择
  \item \textbf{RL w/o GVN（消融）：}本文方法的 GVN 消融变体
\end{enumerate}

\subsection{主要结果}

\subsubsection{误差-自由度曲线（Error vs.\ DOF）}

\needexp{在 $k=10, 15, 20, 25, 30$ 下，绘制 RL 策略与所有基线的 error vs.\ DOF 曲线。每条曲线 4--6 个细化步。}

\begin{itemize}
  \item \textbf{预期结果：}RL 策略在所有波数下位于所有基线曲线之下（同等 DOF 误差更小，或同等误差更省计算）
  \item \textbf{评估指标：}$\ell_2$ 相对误差（vs Mie 解析解或超精细参考解），全局 $\eta_K$ 总和
  \item \textbf{表格：}列出各方法在不同波数 $k$ 和不同细化步下的 $\ell_2$ 误差与单元数
\end{itemize}

\subsubsection{跨波数零样本泛化}

\needexp{训练集 $k\in[3,15]$，测试集 $k=20, 25, 30, 35$。绘制 error vs.\ DOF 曲线，对比 RL 策略与 D\"{o}rfler 标记在未见波数下的表现。}

这是区分本文方法与所有传统 AMR 方法的核心实验：
\begin{itemize}
  \item D\"{o}rfler 参数 $\theta$ 固定为 0.5（在 $k=15$ 调优）——预期在高 $k$ 下性能退化
  \item RL 策略不做任何调整——预期在 $k=30$ 下仍保持甚至扩大优势
  \item 如果 RL 在 $k=30$ 的 error-vs-DOF 仍优于 D\"{o}rfler，直接证明 $k$ 不变特征的有效性
\end{itemize}

\subsubsection{跨几何泛化}

\needexp{训练全部用圆形散射体。测试：方形介质柱、双圆柱、三圆柱。展示 error vs.\ DOF 曲线和网格快照。}

\subsubsection{跨介质参数泛化}

\needexp{训练集 $\varepsilon_r\in[2,4]$，测试 $\varepsilon_r=6,8$。展示 error vs.\ DOF。}

\subsubsection{网格演化可视化}

\needexp{选取代表性 case（$k=20$，方形散射体），展示 RL 策略从初始网格到最终网格的逐步细化快照，与 D\"{o}rfler 标记的对应步快照并列对比。}

预期观察：RL 策略在介质界面和高梯度区域集中细化，在均匀区域保持粗网格；D\"{o}rfler 标记可能在远离界面的区域"浪费"细化预算。

\subsection{消融实验}

\subsubsection{GVN 消融}

\needexp{训练两个模型：完整 RL（含 GVN）vs RL w/o GVN（仅 2 层 message passing）。在 $k=10, 20, 30$ 下对比 error vs.\ DOF。}

\textbf{核心假设：}
\begin{itemize}
  \item 低 $k$（$k=10$）：GVN 和 w/o GVN 表现接近（误差传播范围小，局部信息足够）
  \item 高 $k$（$k=30$）：GVN 显著优于 w/o GVN（非局域误差传播范围扩大，需要全局上下文）
  \item 交互效应：$k$ 越高，GVN 的增益越大——这直接证明 GVN 解决了非局域误差传播问题
\end{itemize}

\subsubsection{零和奖励消融}

\needexp{RL w/ zero-sum vs RL w/o zero-sum，对比训练曲线和最终 error vs.\ DOF。}

\subsubsection{$k$ 不变特征消融}

\needexp{三组对比：
(a) 完整 13 维节点特征 + 相位距离边特征
(b) 移除 cos/sin 相位特征（节点特征 -2 维）
(c) 相位距离边特征 → 普通欧氏距离边特征}
测试跨波数泛化性能差异。

\subsubsection{消息传递层数消融}

\needexp{1 层 vs 2 层 vs 3 层 message passing stack，对比训练收敛速度和最终性能。}

\subsection{训练诊断与分析}

以下数据可从前 401 次迭代的训练日志直接提取（\textbf{无需额外实验}）：

\begin{itemize}
  \item \textbf{学习曲线：}loss、explained variance、平均奖励、neg\_action\_ratio 随 iteration 的演化（附 4 合 1 图）
  \item \textbf{neg\_action\_ratio 分析：}从 0.79（几乎所有单元都想细化）收敛到 0.05（高度选择性），解释策略如何学到"精细化是稀缺资源"
  \item \textbf{Explained variance 分析：}从 $-0.007$（比随机还差）到 0.48（可靠的回报预测），说明价值网络学到了有意义的误差分布
  \item \textbf{动作分布统计：}不同训练阶段策略输出 $x_i$ 的分布变化
  \item \textbf{Mie 解验证：}\needexp{FEM 解 vs Mie 级数解析解在远场的相对 $\ell_2$ 误差，作为 FEM 求解器本身的精度基准}
\end{itemize}

% ============================================================
\section{Discussion（讨论）}
% ============================================================

\subsection{核心发现}

\begin{itemize}
  \item \textbf{RL 策略学到了超越 D\"{o}rfler 的细化模式：}传统 D\"{o}rfler 标记是单步贪心的——每步独立标记累计误差占比 $\geq \theta$ 的最小集合。RL 策略可以在早期步骤保留预算，在后期步骤集中处理高价值区域，实现跨步优化
  \item \textbf{GVN 解决了亥姆霍兹非局域性的信息瓶颈：}GVN 消融在高 $k$ 下的显著退化证明了全局上下文对高频波问题的重要性。这为未来将 RL-AMR 应用于其他非局域 PDE（如积分-微分方程、分数阶方程）提供了架构参考
  \item \textbf{$k$ 不变特征是跨波数泛化的关键：}策略无需在高频下重新训练或调参——这是传统 AMR 方法无法做到的，体现了 ML 方法的核心优势
  \item \textbf{$\eta_K$ 作为 reward 使方法具有实用性：}不依赖解析解或超精细参考网格，原则上可应用于任意复杂介质分布
\end{itemize}

\subsection{局限性}

\begin{itemize}
  \item \textbf{仅限 2D 亥姆霍兹：}拓展到 3D Maxwell 或弹性波方程需要处理更大的图规模（网格节点数 $\propto k^3$），GNN 的计算效率将成为瓶颈
  \item \textbf{P1 单元的固有色散误差未被修正：}当前方法通过 $h$-refinement 间接补偿 P1 的色散缺陷，而非从变分形式层面消除。在高 $k$ 极限下，细化成本不可持续
  \item \textbf{训练仍需 PDE 求解器交互：}每步 rollout 需要一次 FEM 求解，训练成本与 PDE 求解开销线性相关。离线预训练或迁移学习可缓解
  \item \textbf{$\eta_K$ 在预渐近区的可靠性依赖于约束：}当初始网格严重欠分辨时（$h \gg \lambda$），$\eta_K$ 的可靠性退化。预渐近约束是一种缓解但非根本解决
\end{itemize}

\subsection{未来方向}

\subsubsection{双加权残差（DWR）：引入因果律}

当前 $\eta_K$ 仅衡量局部残差大小，不区分残差的"重要性"。DWR 理论通过求解伴随问题获得误差的因果权重：
\begin{equation}
  J(e) = \sum_{K\in\Omega_h} \Big(\langle r_{\mathrm{int}}, z-z_h\rangle_K + \langle r_{\mathrm{jump}}, z-z_h\rangle_{\partial K}\Big)
\end{equation}
将伴随解 $z_h$ 的梯度作为 GNN 的额外节点特征，网络可以直接"看到"哪些局部残差对关心的目标泛函（如远场散射截面）有实质性贡献。这是从"盲目的局部残差驱动"向"因果律驱动的物理感知"的关键一步。

\subsubsection{相空间方法（Wigner 分布）：动量解耦}

在含横向动量的复杂散射中，空间域标量残差掩盖了误差的物理本质——污染效应的根源是波矢方向的失配。将波场映射到位置-动量相空间（Wigner 分布），以动量偏差作为奖励信号，智能体优化目标从"缩小数值差异"升级为"逼近真实的物理色散关系"。

\subsubsection{算子层面修正（GLS / Trefftz 方法）}

从变分形式出发，通过 Galerkin Least-Squares (GLS) 稳定化或 Trefftz 基函数（平面波非连续 Galerkin）在 FEM 层面消除色散误差，使 GNN 面对的是干净、局域化的残差场，而非被污染效应扭曲的误差分布。

% ============================================================
\section{Conclusion（结论）}
% ============================================================

\begin{itemize}
  \item \textbf{贡献：}将 RL-AMR 首次拓展到高频亥姆霍兹散射问题，通过 GVN 架构解决非局域误差传播，通过 $k$ 不变特征实现跨波数零样本泛化，通过 $\eta_K$ 奖励信号使方法独立于解析解
  \item \textbf{关键证据：}[待实验完成后填写：在 $k=30$ 下 RL 策略的 error vs.\ DOF 优于 D\"{o}rfler 标记 XX\%，GVN 在高波数下贡献 YY\%]
  \item \textbf{影响：}为高频波传播问题的数据驱动网格优化提供了新范式，GVN 架构对非局域 PDE 的 RL-AMR 具有通用参考价值
  \item \textbf{边界：}当前框架适用于 2D Helmholtz 散射问题，在预渐近约束满足的条件下效果最佳
\end{itemize}

% ============================================================
% 附录：实验清单
% ============================================================
\clearpage
\section*{附录 A：待完成实验清单}

以下所有实验需要在投稿前完成。按优先级排列。

\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{p{0.7cm} p{5cm} p{4cm} p{4cm}}
\toprule
优先级 & 实验 & 支撑的创新点 & 预计工作量 \\
\midrule
P0 & $k=10,15,20,25,30$ 下 Error vs.\ DOF（5种方法 $\times$ 5波数 $\times$ 4-6步） & C1, C2 & 2--3 天 GPU 计算 \\
\hline
P0 & 跨波数泛化：训练 $k\in[3,15]$，测试 $k=20,25,30,35$ & C2（核心卖点）& 1--2 天 GPU \\
\hline
P0 & GVN 消融：w/ vs w/o GVN @ $k=10,20,30$ & C1 & 1 天 GPU \\
\hline
P1 & 跨几何泛化：方形、多圆柱测试 & C1 的几何稳健性 & 1 天 GPU \\
\hline
P1 & 零和奖励消融 & C4 的奖励设计贡献 & 0.5 天 GPU \\
\hline
P1 & 网格演化可视化对比（RL vs D\"{o}rfler）& C1 的定性证据 & 0.5 天脚本 \\
\hline
P2 & 跨介质 $\varepsilon_r$ 泛化 & 特征设计的稳健性 & 1 天 GPU \\
\hline
P2 & $k$ 不变特征消融（去相位特征/换欧氏距离）& C2 的机制解释 & 1 天 GPU \\
\hline
P2 & 消息传递层数消融 & 架构设计的合理性 & 0.5 天 GPU \\
\hline
P3 & Mie 解定量对比 & FEM 求解器精度基准 & 0.5 天脚本 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\vspace{1em}
\textbf{预计总 GPU 计算时间：}8--12 天（部分可并行）。

\end{document}
